2020中级经济师-经济基础-学习笔记-51、第二十四章描述统计-第二节离散程度的测度及第三节分布形态的测度

第二节 离散程度的测度

【本节知识点】

  1. 离散程度的测度指标
  2. 方差、标准差的含义及适用
  3. 离散系数的含义及作用

【本节内容精讲】

【知识点】离散程度的测度指标
离散程度反映的是各变量值远离中心值的程度。衡量离散程度的指标包括方差、标准差、离散系数。
集中趋势的测度值是对数据一般水平的一个概括性变量,它对一组数据的代表程度,取决于该组数据的离散水平。数据的离散程度越大,集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差,离散程度越小,其代表性就越好。

【知识点】方差和标准差

1、方差与标准差的含义
(1)方差是数据组中各数值与其均值离差平方的平均数。是实际中应用最广泛的离散程度测度值。方差越小,说明数据值与均值的平均距离越小,均值的代表性越好。方差的单位是原数据的平方。

(2)标准差:方差的平方根,不仅能度量数值与均值的平均距离,还与原始数值具有相同的计量单位。

2、方差与标准差的适用

方差、标准差只适用于数值型数据,易受极端值的影响。标准差的大小不仅与数据的测度单位有关,也与观测值的均值大小有关,不能直接用标准差比较不同变量的离散程度

【知识点】离散系数

1.含义:离散系数也称为变异系数或标准差系数,即标准差与均值的比值。

2.作用:离散系数消除了测度单位和观测值水平不同的影响,因而可以直接用来比较变量的离散程度。

【例题:单选题】某学校学生的平均年龄为20岁,标准差为3岁;该校教师的平均年龄为38岁,标准差为3岁。比较该校学生年龄和教师年龄的离散程度,则( )。
A.学生年龄和教师年龄的离散程度相同
B.教师年龄的离散程度大一些
C.教师年龄的离散程度是学生年龄离散程度的1.9倍
D.学生年龄的离散程度大一些
【答案】D【解析】平均值不同的情况下,用离散系数比较离散程度。

学生年龄的离散系数=3/20*100%=15%

教师年龄的离散系数=3/38*100%=7.89%

离散系数大的说明数据的离散程度也就大,离散系数小的说明数据的离散程度也就小。

【例题:2011年单选题】下列离散程度的测度值中,能够消除变量值水平和计量单位对测度值影响的是()。

A.标准差

B.离散系数

C.方差

D.极差

【答案】B【解析】通过本题掌握离散系数的作用。

【例题:2015年多选题】下列统计量中,容易受极端值影响的有()

A均值

B方差

C众数

D中位数

E标准差

【答案】ABE【解析】容易受极端值影响的是方差、标准差、均值。

第三节 分布形态的测度

【本节知识点】

1.分布形态的测度指标

2.偏态系数不同取值的含义

3.标准分数的含义及作用

【本节内容精讲】

【知识点】分布形态的测度指标

分布形态的测度指标包括偏态系数和标准分数。

【知识点】偏态系数

项目 主要内容
偏度 数据分布的偏斜方向和程度,描述的是数据分布对称程度
偏态系数 测度数据分布偏度的统计量,取决于离差三次方的平均数与标准差三次方的比值。
等于0 数据的分布是对称的。
偏态系数>0: 分布为右偏。

1.取值在0和0.5之间,轻度右偏;

2.取值在0.5和1之间,中度右偏;

3.取值大于1,严重右偏;

偏态系数<0 分布为左偏。

1.取值在0和-0.5之间,轻度左偏;

2.取值在-0.5和-1之间,中度左偏;

3.取值小于-1,严重左偏;

偏态系数的绝对值越大 数据分布的偏斜程度越大;

【例题:2015年多选题】某企业员工年收入数据分布的偏态系数为3.0,则该组数据的分布形态为()

A右偏

B左偏

C严重倾斜

D轻度倾斜

E中度倾斜

【答案】AC【解析】偏态系数等于3,说明该组数据是严重右偏。

【知识点】标准分数

(一)标准分数的含义及计算

在统计上,均值和标准差不同时,不同变量的数值是不能比较的,来自不同分布的变量值不可比,但是每个数值在变量分布中相对于均值的相对位置是可比的,因此可以通过计算标准分数来比较不同变量的取值。

【例题:标准分数举例】某班2016年中级经济师考试中,已知公共课考试的全班平均分为110分,标准差为10分,张三得了116分;专业课考试的全班平均分为100分,标准差为8分,张三得了107分。张三哪一门考试成绩比较好?

【分析】

1.因为两科考试的标准差不同,因此不能用原始分数直接比较。需要将原始分数转换成标准分数,然后进行比较。

2.标准分数的计算

标准分数Z=(原始分数Xi-平均分数X)÷标准差s

【补充】标准分数表示一个给定的分数距离平均数有多少个标准差,含有标准差的个数越多,说明该分数和平均数的距离越大(标准分数越大越好)

【接上例】

张三Z(公共课)=(116-110)/10=0.6

张三Z(专业课)=(107-100)/8=0.875

3.两门课程的比较

张三的公共课成绩在其整体分布中位于平均分之上0.6个标准差的地位,他的专业课成绩在其整体分布中位于平均分之上0.875个标准差的地位。由此可见,张三的专业课考试成绩优于公共课考试成绩。

(二)标准分数的实际应用

在实际应用中,当数据服从对称的钟形分布时,可以运用经验法则来判断与均值的距离在特定倍数标准差之内的数据项所占比例。

  1. 约有68%的数据与平均数的距离在1个标准差之内,标准分数在【-1,1】范围内;
  2. 约有95%的数据与平均数的距离在2个标准差之内;标准分数在【-2,2】范围内;
  3. 约有99%的数据与平均数的距离在3个标准差之内;标准分数在【-3,3】范围内;

上述内容可记忆三个数据,即168;295;399.

【例题:2015年单选题】根据经验法则,服从对称钟形分布的标准分数在【-2,2】范围内的概率是()

A.95%

B.50%

C.68%

D.99%

【答案】A【解析】可根据“168”“295”“399”选择。

【例题:单选题】某班2014年中级经济师考试中,已知公共课考试的全班平均分为110分,标准差为10分,如果学生的考试分数服从正态分布,则依据经验法则法,可以判断成绩在100-120分之间的学生大概占全班学生的()。

A68%

B95%

C99%

D100%

【答案】A【解析】100-120分与平均分的差为正负1个标准差,可根据“168”选择。

【例题:单选,2016年多选题改编】在某电商网站上,商品甲得到6个评价得分,分别是1、4、4、5、5、5;商品乙得到5个评价得分3、3、3、4、4.关于这两组数据的说法,错误的是()。

A.商品甲的评分中位数高于商品乙

B.商品甲的评分众数高于商品乙

C.商品甲的评分均值低于商品乙

D.商品甲的评分分布离散程度大于商品乙

【答案】C【解析】本题个别选项较难,考核知识点较多。
(1)商品甲的评分中位数是(4+5)/2=4.5.商品乙评分中位数是3,所以商品甲的评分中位数高于商品乙。A正确;
(2)商品甲众数5,商品乙众数3,所以商品甲评分众数高于商品乙,B选项正确。
(3)商品甲评分均值=(1+4+4+5+5+5)/6=4;商品乙评分均值=(3+3+3+4+4)/5=3.4.商品甲的评分均值高于商品乙C错误;
(4)商品甲的方差=【(1-4)2+(4-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(5-4)2+(5-4)2】/(6-1)=2.4
商品甲的标准差=√2.4

商品甲评分的离散系数=√2.4÷4

商品乙的方差=【(3-3.4)2+(3-3.4)2+(3-3.4)2+(4-3.4)2+(4-3.4)2】/(5-1)=0.3
商品乙的标准差=√0.3
商品乙的离散系数=√0.3÷3.4
商品甲评分的离散系数高于商品乙评分的离散系数,商品甲的评分分布离散程度大于商品乙。

冰煷

日积跬步,终至千里。

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